Matemáticas II: 17 de Abril.

Hemos empezado nuevo tema llamado "Puntos, rectas y planos en el espacio", que en el examen irá unido al anterior.

Simétrico de un punto respecto de otro.

Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por ello se verificará la igualdad.

Ejemplo: Calcula el simétrico de $A(1,2,3)$ respecto de $M(1,0,-1)$
Llamamos $B(x,y,z)$ al simétrico buscado. $M$ será el punto medio del segmento $\overline{AB}$

$\frac{1+x}{2}=1 \rightarrow x=1$

$\frac{2+y}{2}=0 \rightarrow y=-2$

$\frac{3+z}{2}=-1 \rightarrow z=-5$
Por tanto, el simétrico es $B(1,-2,-5)$

Los ejercicios que hemos realizado en clase son el 1, 2 y 3 pág 156.

Ecuaciones de la recta.

Ecuación vectorial de la recta

Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del espacio, alineados con un punto P y con una dirección dada

Si P(x₁, y₁) es un punto de la recta r, el vector

tiene igual dirección que

, luego es igual a

multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta

Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

Ejercicios

1.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es